3.349 \(\int \frac{(a+a \sec (e+f x))^m}{\sqrt{d \sec (e+f x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=96 \[ \frac{2 \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac{1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m F_1\left (-\frac{1}{2};\frac{1}{2},\frac{1}{2}-m;\frac{1}{2};\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{d \sec (e+f x)}} \]

[Out]

(2*AppellF1[-1/2, 1/2, 1/2 - m, 1/2, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/2 - m)*(a + a*Sec[e +
f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.12527, antiderivative size = 96, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.12, Rules used = {3828, 3827, 133} \[ \frac{2 \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac{1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m F_1\left (-\frac{1}{2};\frac{1}{2},\frac{1}{2}-m;\frac{1}{2};\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{d \sec (e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + a*Sec[e + f*x])^m/Sqrt[d*Sec[e + f*x]],x]

[Out]

(2*AppellF1[-1/2, 1/2, 1/2 - m, 1/2, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/2 - m)*(a + a*Sec[e +
f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])

Rule 3828

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^In
tPart[m]*(a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m])/(1 + (b*Csc[e + f*x])/a)^FracPart[m], Int[(1 + (b*Csc[e + f*x])/a)^
m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rule 3827

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*
d*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((d*x)^(n - 1)*(a + b*x)^(m -
1/2))/Sqrt[a - b*x], x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 133

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*e^p*(b*x)^(m +
1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+a \sec (e+f x))^m}{\sqrt{d \sec (e+f x)}} \, dx &=\left ((1+\sec (e+f x))^{-m} (a+a \sec (e+f x))^m\right ) \int \frac{(1+\sec (e+f x))^m}{\sqrt{d \sec (e+f x)}} \, dx\\ &=-\frac{\left (d (1+\sec (e+f x))^{-\frac{1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(1+x)^{-\frac{1}{2}+m}}{\sqrt{1-x} (d x)^{3/2}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)}}\\ &=\frac{2 F_1\left (-\frac{1}{2};\frac{1}{2},\frac{1}{2}-m;\frac{1}{2};\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (1+\sec (e+f x))^{-\frac{1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{d \sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 14.804, size = 2424, normalized size = 25.25 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + a*Sec[e + f*x])^m/Sqrt[d*Sec[e + f*x]],x]

[Out]

(-3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]]*(C
os[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1/2 + m)*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^m*(Cos[2*(e + f*x)]*((1 + Sec[e + f*x])^m/(2
*Sqrt[Sec[e + f*x]]) - (I/2)*Sqrt[Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[e + f*x]) + ((1 + Sec[e + f*x])^m/2 +
(I/2)*(1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2*(e + f*x)])/Sqrt[Sec[e + f*x]] + Sqrt[Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]*((-I/2)*(1
+ Sec[e + f*x])^m + ((1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2*(e + f*x)])/2))*Tan[(e + f*x)/2])/(f*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2
)*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^m*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2] + (3*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*Appel
lF1[3/2, 1/2 + m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((-3*2^m*AppellF1[1/
2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1/2 + m))/
(Sqrt[Sec[(e + f*x)/2]^2]*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (3*
AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m,
3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (9*2^m*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2,
3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]^2
)/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(3*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 +
m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (3*2^(1 + m)*(Cos[(e + f*x)/2]^
2*Sec[e + f*x])^(-1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/2 + ((-1/2 + m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1
[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (3*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(
e + f*x)/2]^2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]*((3*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2,
5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] - 3*(-(AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/2 + ((-1/2 + m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 3/2
, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + Tan[(e + f*x)/2]^2*(
3*((-3*AppellF1[5/2, -1/2 + m, 7/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e +
f*x)/2])/2 + (3*(-1/2 + m)*AppellF1[5/2, 1/2 + m, 5/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e +
f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (1 - 2*m)*((-9*AppellF1[5/2, 1/2 + m, 5/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/10 + (3*(1/2 + m)*AppellF1[5/2, 3/2 + m, 3/2, 7/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*Appe
llF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (3*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan
[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2) - (3*2^(1 + m)*(-1/2 + m)*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-3/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)
/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2
)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 3/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (3*AppellF1[3/2, -1/2 + m,
5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 3/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.2, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( a+a\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m}{\frac{1}{\sqrt{d\sec \left ( fx+e \right ) }}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

int((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{\sqrt{d \sec \left (f x + e\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((a*sec(f*x + e) + a)^m/sqrt(d*sec(f*x + e)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\sqrt{d \sec \left (f x + e\right )}{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{d \sec \left (f x + e\right )}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(d*sec(f*x + e))*(a*sec(f*x + e) + a)^m/(d*sec(f*x + e)), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (a \left (\sec{\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{m}}{\sqrt{d \sec{\left (e + f x \right )}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))**m/(d*sec(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((a*(sec(e + f*x) + 1))**m/sqrt(d*sec(e + f*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{\sqrt{d \sec \left (f x + e\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((a*sec(f*x + e) + a)^m/sqrt(d*sec(f*x + e)), x)